Pozitif Tam Sayılar

-7       -6     -5      -4     -3      -2       -1       0       1       2        3       4       5       6       7

Negatif Tam Sayılar

şeklinde gösterilir.

Tam Sayılar Kümesi             =  Z  = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}

Pozitif Tam Sayılar Kümesi  = Z+ = {1,2,…,n,…}

Negatif Tam Sayılar Kümesi = Z- = {…,n…,-2,-1}

1.{0} ne negatif ne de pozitif tam sayıdır.

Z = Z- È {0} È Z+ ‘dır.

Tam Sayılar Kümesi’nde İşlemler:

Toplama İşlemi’nin özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

” a,b Î Z için a + b Î Z’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:  (-6) + (+4) = (-2) Î Z

(+9) + (-3) = (+6) Î Z

b)      Birleşme Özelliği:

” a,b,c Î Z için a + (b + c) = (a + b) + c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn: [(-7)+ (+5)] + (-4) = (-7) + [(+5) + (-4)]

(-2)    +   (-4) = (-7)    +     (+1)

(-6)       =         (-6)

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

” a Î Z için a + 0 = 0 + a olduğundan “0″ Tam Sayılar kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.

Örn:  (+8) + 0 = 8 = 0 + (+8)

(-4) + 0 = (-4) = 0 + (-4)

d)      Ters Eleman Özelliği:

” a Î Z için a + (-a) = 0 = (-a) + a olduğundan a’nın Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre tersi a’dır ve her elemanın tersi vardır.

Örn:   (+3) + 8-3) = 0 = (-3) + (+3)

e)      Değişme Özelliği:

” a Î Z için a + b = b + a olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn:   (-9) + (+3) = (+3) + (-9)

(-6)      =       (-6)

Bu beş özellik sağlandığı için (Z, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.

Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

” a,b Î Z için a – b Î Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: (-17) – (+9) = (-26) Î Z

b)      Birleşme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn: [(-13) – (+9)] – (-7) ¹ (-13) – [(+9) - (-7)]

(-22)      -  (-7)  ¹  (-13) -   (+16)

(-15)       ¹      (-29)

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.

d)      Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

e)      Değişme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn:   23 – (-14) ¹ (-14) – 23

37                    ¹    (-37)

Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

” a,b Î Z için a . b Î Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: 4 . 5 = 20 Q

b)      B-)Birleşme Özelliği:

” a,b,c Î Z için a . (b . c) = (a . b) . c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn: [5. (-3)] . 7 = 5 . [(-3) . 7]

(-15)    . 7 = 5 .  (-21)

-105    =     -105

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

” a Î Z için a . 1 = 1 . a olduğundan “1″ Tam Sayılar kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.

Örn:  -7 . 1 = -7 = 1 . -7

6 . 1 = 6 = 1. 6

d)      Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin ters eleman özelliği yoktur.

Örn:  4 . x = 1 = x . 4

x Ï Z

e)      Değişme Özelliği:

” a Î Z için a . b = b . a’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn:  -2 . 5 = 5 . -2

-10 = -10

f)        Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:

” a,b,c Î Z için (a . b) . c = a . (b . c) olduğu için Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.

Örn: (6 . 4) . 8 = 6 . (4 . Cool

24 . 8 = 6 . 32

192 = 192

Bölme İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin kapalılık özelliği yoktur.

Örn:  8 : 4 = 2 Î Z

4 : 8 = x Ï Z

b)      Birleşme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn:  (60 : 10) : 5 ¹ 60 : (10 : 5)

6      :   5 ¹ 60 :       2

6 : 5   ¹ 30

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.

d)      Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

e)      Değişme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn:  25 : 5 ¹ 5 : 25

5   ¹ 5 : 25

İşlem Sırası:

Bir problemin çözümünde işlem yaparken izlenmesi gereken sıra;

1)      Parantez İçleri

2)      Kuvvet Alma

3)      Hangisi önce geliyorsa bölme ya da çarpma

4)      Hangisi önce geliyorsa toplama ya da çıkarma

Örn:  (15 : 5 – 7) . (-7 . 3 + 9) + 12 = ?

= ( 3 – 7)  . (-21 + 9)  + 12

=  -4 . -12 + 12

= -48 + 12

= -36

Tek ve Çift Sayılar:

a Ù b Î Z için;

1)      İki çift sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. “Ç ± Ç = Ç”

2)      İki tek sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. “T ± T = Ç”

3)      Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ya da farkı tek sayıdır. “T ± Ç = T”

4)      İki tek sayının çarpımı tek sayıdır. “T .T =T”

5)      İki çift sayının çarpımı çift sayıdır “Ç .Ç = Ç”

6)      Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı çift sayıdır. “Ç .T = Ç”

RASYONEL SAYILAR

Tanım: a, b Î Z ve b ¹ 0 olmak üzere;  ifadesine kesir ya da Rasyonel Sayı denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir.  ifadesinde a’ ya kesrin payı b’ ye de kesrin paydası denir.

Örn:  ,  ,  gibi sayılar rasyonel sayıdır.

·  b ¹ 0 için ‘dır.

·  b ¹ 0 için tanımsızdır.

·  belirsizdir.

Pozitif Tam Sayılar

-2                        -1                         0                         1                          2

0

Negatif Tam Sayılar

Kesir Çeşitleri:

Basit Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesire basit kesir denir.

basit kesir

Örn:  gibi kesirler basit kesirlerdir.

Bileşik Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce büyük ya da payı paydasına mutlak değerce eşit olan kesire bileşik kesir denir.

bileşik kesir

Örn:  gibi kesirler bileşik kesirlerdir.

Tam Sayılı Kesir:
Önünde tamsayı olan kesire tamsayılı kesir denir.

Örn:  gibi kesirler tamsayılı kesirlerdir.

·

Rasyonel Sayılarda Genişletme ve Sadeleştirme:

kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tamsayısı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem kesrin değerini değiştirmez ve kesre yapılan bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

olmak üzere, ‘ye ‘nin genişletilmesi,  rasyonel sayısından  işlemi ile  rasyonel sayısının elde edilmesine de ‘ nin sadeleştirilmesi denir.

Örn:  rasyonel sayısını 3 ile genişletiniz.

Örn:  rasyonel sayısını en sade biçimiyle gösteriniz.

Denk Kesirler:

kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi ile ‘ ye eşit kesirler elde edilir. Bu kesirlere ‘ye denk kesirler denir. Denklik ” ” işaretiyle gösterilir.

Örn:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Dört İşlem:

Toplama – Çıkarma:
a)      Paydalar eşit ise ;

için  olur.

Örn:

Örn:

b)      Paydalar farklı ise ;

için  olur.

Örn:

Örn:

Çarpma:
olur.

Örn:

Bölme:
olur.

Örn:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Dört İşlem’in Özellikleri:

Toplama İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

“  olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b)      Birleşme Özelliği:

“  olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn:

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’   “  olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı “0″ dır.

Örn:

d)      Ters Eleman Özelliği:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre ‘nin tersi ‘dir.

Örn:

e)      Değişme Özelliği:

“  olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn:

Bu beş özellik sağlandığı için (Q, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.

Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b)      Birleşme Özelliği:

“  olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn:

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

“  yapan bir x sayısı olmadığı için  Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.

d)      Ters Eleman Özelliği:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters elemanı da yoktur.

e)      Değişme Özelliği:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn:

Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

“  olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b)      Birleşme Özelliği:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Birleşme Özelliği vardır.

Örn:

c)      Birim (Etkisiz) Eleman:

“  olduğundan  Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı 1′dir.

Örn:

d)      Ters Eleman Özelliği:

“   Ù  olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’ne göre ‘nin tersi ‘dır. Fakat x Î R olmak üzere 0 . x = 0 olduğundan  yapan bir  sayısı yoktur. Bunun için 0′ın Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemine göre tersi yoktur.

e)      Değişme Özelliği:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn:

f)        Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:

“  olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.

Örn:

Bölme İşlemi’nin Özellikleri:
a)      Kapalılık Özelliği:

&#8220;  <