Bilge Öğretmen » Matematik

Roma Rakamları

admin — Wed, 14 Oct 2009 17:59:07 +0000

Romalılar, sayıları yazmakta bir takım harfler kullanırlardı.

I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000

Bugün de zaman zaman kullanılan bu harfler, yan yana getirilerek daha büyük sayılar oluşturulabilir. Mesala “35″,”XXXV” şeklinde yazılır.

Bu sayılar yazılırken bazı uyulması gereken kurallarda vardır.

1- Bir harf, en fazla üç defa yan yana yazılabilir.

2- Bir harfin sağına, kendisinden daha küçük değerli bir harf gelirse, toplanarak okunur. XII=11 , DCX=610 , LXXVII= 77 gibi.

3-Sol tarafa yazıldığında ise çıkarılır. XC=90, IL=49, CD=400 gibi. Sadece bir harf yazılabilir.

4- Hem sağa, hem de sola daha küçük değerli harfler yazılarak farklı rakamlar yazılabilir. CMLI=951, XLVII=47, CDLV=455 gibi.

5- Roma rakamı ile yazılabilecek en büyük ve en uzun sayı “3888″ dir.(MMMDCCCLXXXVIII)

6- Çok sık olmamakla beraber daha büyük sayılara ihtiyaç hissettiklerinde harflerin değerini “1000″ kat arttırmak için üzerlerine çizgi çizmişlerdir.

üzerine ben çizgi koyamadım ama üzerinde çizgi varmış gibi düşünürseniz;

V=5000
X=10000
L=50000
C=100000
D=500000
M=1000000

Dört işlem yapma zorluğu sebebi ile günümüzde fazla kullanılmamaktadır. Bazı usuller geliştirilse de çok büyük sayılara sıra gelince yetersiz kalmaktadır. Ancak yine de bazı kitap sayfalarını numaralandırma, madde işaretleri, saatler gibi kullanım alanları vardır.

İlgili Konular

Asal Sayılar

admin — Wed, 14 Oct 2009 17:57:47 +0000

Asal sayilar, 1 ve kendisinden baska pozitif tam böleni olmayan 1′ den büyük tamsayilardir. En küçük asal sayi, 2′ dir. 2 asal sayisi disinda çift asal sayi yoktur. Yani, 2 sayisi disindaki tüm asal sayilar tek sayidir. Asal sayilar kümesi,

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … }

dir.

Fermat Teoremi’ ne göre, n asal sayi olmak üzere, 2n – 1 seklinde yazilabilen sayilar asal sayidir. Örnegin,

22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, 211 – 1, …

sayilari, asal sayidir.

Aralarinda asal sayilar:

1′ den baska pozitif ortak böleni olmayan sayilara, aralarinda asal sayilar adi verilir. Birden fazla sayinin aralarinda asal olmasi için, bu sayilarin asal sayi olmasi gerekmez. Asal sayilar, kesinlikle aralarinda asal sayilardir. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, aralarinda asal sayilardir. Diger taraftan, 10 ile 8 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, 2 ortak bölenleri oldugu için, aralarinda asal sayilar degildir. Bir sayi aralarinda asal iki sayiya bölünebiliyorsa, bu iki sayinin çarpimina da bölünür.

Örnegin,

· 2, 9

· 10, 81

· 5, 29

· 3, 8

· 2, 10, 35

sayi gruplari, ortak tam bölenleri olmadigi için aralarinda asal sayilardir.

Asal olmayan sayilara da bilesik sayi adi verilir. Dolayisiyla, bilesik sayilarin 1 ve kendisinden baska bölenleri vardir. Örnegin, 10 sayisi bir bilesik sayidir. Çünkü, 10 sayisinin 1 ve kendisinden baska, 2 ile 5 böleni vardir. Buradan, asal olmayan 10 sayisi, birer asal sayi olan 2 sayisi ile 5 sayisinin çarpimi olarak yazilabilir. 2 ile 5 sayisina, 10 sayisinin asal çarpani veya böleni denir. Yani, bilesik bir sayi, asal sayilarin çarpimi seklinde yazilabilir.

Örnek 1:

Asagidaki sayi gruplarindan hangisi aralarinda asaldir?

a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25

Çözüm:

a) 4 ile 20′ nin ortak böleni vardir ve bu da 2 ile 4′ tür.

b) 6 ile 21′ in ortak böleni vardir ve bu da 3′ tür.

c) 27, 36 ve 39′ un ortak böleni vardir ve ortak bölen 3′ tür.

d) 8, 24 ve 36′ nin ortak böleni vardir ve ortak bölen 2 ve 4′ tür.

e) 3, 5 ve 25′ in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayiyi birden bölen 1′ den baska sayi yoktur. Dolayisiyla, bu sayilar aralarinda asaldir.

Örnek 2:

2m + 3 ile 7n – 5 sayilari aralarinda asal olduguna göre,

ise, m ve n kaçtir?Çözüm:

2m + 3 ile 7n – 5 aralarinda asal olduklarina göre,

2m + 3 = 5 2m = 5 – 3 2m = 2 m = 17n – 5 = 9 7n = 9 + 5 7n = 14 n = 2bulunur.

Örnek 3:

a, b ve c birbirinden farkli rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamakli aralarinda asal sayilardir. Buna göre, ab + bc toplaminin en küçük degeri kaçtir?

Çözüm:

Toplamin en küçük olmasi için, sayilari en küçük almaliyiz. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalidir. Dolayisiyla,

ab + bc = 21 + 13 = 34

olur.

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre,

ise, 3x + 2y toplami kaçtir

Çözüm:

2x + y ile 4x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre, her ikisinin de ortak böleni olmamasi gerektiginden, esitligin sag tarafi ortak bölenden arindirilmalidir. Dolayisiyla,

olur ve buradan,

2x + y = 7 … (1)

4x + y = 9 … (2)

yazilir. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, (1) nolu denklemi – 1 ile çarpalim ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalim.

- 1 / 2x + y = 7

4x + y = 9

- 2x – y = – 7

4x + y = 9

Son iki denklemin toplami

2x = 2

x = 1

bulunur ve x = 1 degerini (1) nolu denklemde yerine koyalim

2.1 + y = 7

y = 7 – 2

y = 5

bulunur. Buradan

3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13

olur.

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bilesik sayi, asal sayilarin veya asal sayilarin kuvvetlerinin çarpimi seklinde yazilabilir. Bu islemi yapmak için, ilgili sayinin sirasiyla en küçük asal sayidan baslanarak bölünebilmesi arastirilir.

Örnek 1:

124 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.

Çözüm:

124= 31.2.2

Örnek 2:

500 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.

Çözüm:

500=2.2.5.5.5 .

İlgili Konular

Tam Sayılar

admin — Wed, 14 Oct 2009 17:56:35 +0000

Tanım: 9 Î N, 7 Î N için 9 – 7 = 2 Î N’dir. Fakat 7 – 9 = x x Ï N. Bu yüzden Doğal Sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Çıkarma İşleminde kapalılık özelliği olmadığı için de Doğal Sayılar birçok problemin çözümünde yetersizdir. Problemleri daha kolay çözebilmek amacıyla Doğal Sayıları da kapsayan, çıkarma işlemine göre kapalı olan ve toplama işlemine göre bir elemanın tersi bulunan daha geniş bir sayı kümesi tanımlanır. Bu küme Tam Sayılar olarak adlandırılır ve ‘Z’ ile gösterilir. Sayı doğrusunda ise;

Pozitif Tam Sayılar

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Negatif Tam Sayılar

şeklinde gösterilir.

Tam Sayılar Kümesi = Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}

Pozitif Tam Sayılar Kümesi = Z+ = {1,2,…,n,…}

Negatif Tam Sayılar Kümesi = Z- = {…,n…,-2,-1}

1.{0} ne negatif ne de pozitif tam sayıdır.

Z = Z- È {0} È Z+ ‘dır.

Tam Sayılar Kümesi’nde İşlemler:

Toplama İşlemi’nin özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

” a,b Î Z için a + b Î Z’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: (-6) + (+4) = (-2) Î Z

(+9) + (-3) = (+6) Î Z

b) Birleşme Özelliği:

” a,b,c Î Z için a + (b + c) = (a + b) + c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn: [(-7)+ (+5)] + (-4) = (-7) + [(+5) + (-4)]

(-2) + (-4) = (-7) + (+1)

(-6) = (-6)

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

” a Î Z için a + 0 = 0 + a olduğundan “0″ Tam Sayılar kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.

Örn: (+8) + 0 = 8 = 0 + (+8)

(-4) + 0 = (-4) = 0 + (-4)

d) Ters Eleman Özelliği:

” a Î Z için a + (-a) = 0 = (-a) + a olduğundan a’nın Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre tersi a’dır ve her elemanın tersi vardır.

Örn: (+3) + 8-3) = 0 = (-3) + (+3)

e) Değişme Özelliği:

” a Î Z için a + b = b + a olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn: (-9) + (+3) = (+3) + (-9)

(-6) = (-6)

Bu beş özellik sağlandığı için (Z, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.

Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

” a,b Î Z için a – b Î Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: (-17) – (+9) = (-26) Î Z

b) Birleşme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn: [(-13) – (+9)] – (-7) ¹ (-13) – [(+9) - (-7)]

(-22) - (-7) ¹ (-13) - (+16)

(-15) ¹ (-29)

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.

d) Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

e) Değişme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn: 23 – (-14) ¹ (-14) – 23

37 ¹ (-37)

Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

” a,b Î Z için a . b Î Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn: 4 . 5 = 20 Q

b) B-)Birleşme Özelliği:

” a,b,c Î Z için a . (b . c) = (a . b) . c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn: [5. (-3)] . 7 = 5 . [(-3) . 7]

(-15) . 7 = 5 . (-21)

-105 = -105

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

” a Î Z için a . 1 = 1 . a olduğundan “1″ Tam Sayılar kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.

Örn: -7 . 1 = -7 = 1 . -7

6 . 1 = 6 = 1. 6

d) Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin ters eleman özelliği yoktur.

Örn: 4 . x = 1 = x . 4

x Ï Z

e) Değişme Özelliği:

” a Î Z için a . b = b . a’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn: -2 . 5 = 5 . -2

-10 = -10

f) Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:

” a,b,c Î Z için (a . b) . c = a . (b . c) olduğu için Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.

Örn: (6 . 4) . 8 = 6 . (4 . Cool

24 . 8 = 6 . 32

192 = 192

Bölme İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin kapalılık özelliği yoktur.

Örn: 8 : 4 = 2 Î Z

4 : 8 = x Ï Z

b) Birleşme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn: (60 : 10) : 5 ¹ 60 : (10 : 5)

6 : 5 ¹ 60 : 2

6 : 5 ¹ 30

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.

d) Ters Eleman Özelliği:

Tam Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

e) Değişme Özelliği:

Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn: 25 : 5 ¹ 5 : 25

5 ¹ 5 : 25

İşlem Sırası:

Bir problemin çözümünde işlem yaparken izlenmesi gereken sıra;

1) Parantez İçleri

2) Kuvvet Alma

3) Hangisi önce geliyorsa bölme ya da çarpma

4) Hangisi önce geliyorsa toplama ya da çıkarma

Örn: (15 : 5 – 7) . (-7 . 3 + 9) + 12 = ?

= ( 3 – 7) . (-21 + 9) + 12

= -4 . -12 + 12

= -48 + 12

= -36

Tek ve Çift Sayılar:

a Ù b Î Z için;

1) İki çift sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. “Ç ± Ç = Ç”

2) İki tek sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. “T ± T = Ç”

3) Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ya da farkı tek sayıdır. “T ± Ç = T”

4) İki tek sayının çarpımı tek sayıdır. “T .T =T”

5) İki çift sayının çarpımı çift sayıdır “Ç .Ç = Ç”

6) Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı çift sayıdır. “Ç .T = Ç”

RASYONEL SAYILAR

Tanım: a, b Î Z ve b ¹ 0 olmak üzere; ifadesine kesir ya da Rasyonel Sayı denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. ifadesinde a’ ya kesrin payı b’ ye de kesrin paydası denir.

Örn: , , gibi sayılar rasyonel sayıdır.

· b ¹ 0 için ‘dır.

· b ¹ 0 için tanımsızdır.

· belirsizdir.

Pozitif Tam Sayılar

-2 -1 0 1 2

Negatif Tam Sayılar

Kesir Çeşitleri:

Basit Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesire basit kesir denir.

basit kesir

Örn: gibi kesirler basit kesirlerdir.

Bileşik Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce büyük ya da payı paydasına mutlak değerce eşit olan kesire bileşik kesir denir.

bileşik kesir

Örn: gibi kesirler bileşik kesirlerdir.

Tam Sayılı Kesir:
Önünde tamsayı olan kesire tamsayılı kesir denir.

Örn: gibi kesirler tamsayılı kesirlerdir.

Rasyonel Sayılarda Genişletme ve Sadeleştirme:

kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tamsayısı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem kesrin değerini değiştirmez ve kesre yapılan bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

olmak üzere, ‘ye ‘nin genişletilmesi, rasyonel sayısından işlemi ile rasyonel sayısının elde edilmesine de ‘ nin sadeleştirilmesi denir.

Örn: rasyonel sayısını 3 ile genişletiniz.

Örn: rasyonel sayısını en sade biçimiyle gösteriniz.

Denk Kesirler:

kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi ile ‘ ye eşit kesirler elde edilir. Bu kesirlere ‘ye denk kesirler denir. Denklik ” ” işaretiyle gösterilir.

Örn:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Dört İşlem:

Toplama – Çıkarma:
a) Paydalar eşit ise ;

için olur.

Örn:

b) Paydalar farklı ise ;

için olur.

Örn:

Çarpma:
olur.

Örn:

Bölme:
olur.

Örn:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Dört İşlem’in Özellikleri:

Toplama İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

“ olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b) Birleşme Özelliği:

“ olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.

Örn:

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ “ olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı “0″ dır.

Örn:

d) Ters Eleman Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre ‘nin tersi ‘dir.

Örn:

e) Değişme Özelliği:

“ olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn:

Bu beş özellik sağlandığı için (Q, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.

Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b) Birleşme Özelliği:

“ olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.

Örn:

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

“ yapan bir x sayısı olmadığı için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.

d) Ters Eleman Özelliği:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters elemanı da yoktur.

e) Değişme Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn:

Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

“ olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b) Birleşme Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Birleşme Özelliği vardır.

Örn:

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

“ olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı 1′dir.

Örn:

d) Ters Eleman Özelliği:

“ Ù olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’ne göre ‘nin tersi ‘dır. Fakat x Î R olmak üzere 0 . x = 0 olduğundan yapan bir sayısı yoktur. Bunun için 0′ın Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemine göre tersi yoktur.

e) Değişme Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.

Örn:

f) Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.

Örn:

Bölme İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:

“ olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Bölme İşlemi’ne göre kapalıdır.

Örn:

b) Birleşme Özelliği:

“ olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin Birleşme Özelliği yoktur.

Örn:

c) Birim (Etkisiz) Eleman:

Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.

d) Ters Eleman Özelliği:

Rasyonel Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.

e) Değişme Özelliği:

Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.

Örn:

Rasyonel Sayılarda Sıralama:

için

olur.
Örn: a-) b-) c-)

a) olduğu için

b) olduğu için

c) olduğu için

Ayrıca Rasyonel Sayılar arasında sıralama yaparken verilen sayılar uygun sayılarla genişletilir ve paydaları pozitif olarak eşitlenir. Bu durumda payı büyük olan kesrin değeri, payı küçük olan kesrin değerinden büyüktür.
Örn: a-) b-) c-) sayılarını sıralayınız.

olur.

Ayrıca payı ve paydası arasındaki farkı aynı olan pozitif basit ve pozitif bileşik kesirlerden paydası büyük olan 1′e daha yakındır.
Örn: a-) b-) c-) sayılarını 1′e yakınlık bakımından sıralayınız.

- Verilen sayıların payları ile paydaları arasındaki fark 2′dir. Bu yüzden 1′e yakınlık sıraları:

olur.

Örn: a-) b-) c-) sayılarını 1′e yakınlık bakımından sıralayınız.

- Verilen sayıların payları ile paydaları arasındaki fark 3′tür. Bu yüzden 1′e yakınlık sıraları:

olur.

Rasyonel Sayıların Yoğunluğu:

ifadesinde ‘dur ve en az bir tanedir. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi yoğundur.

Örn: arasında bir rasyonel sayı bulunuz.

Örn: arasında 2 tane rasyonel sayı bulunuz.

Ondalık Sayılar:

olmak üzere;

… gibi yazılabilen kesirlere ondalık kesir denir.

Örn:

a,bc ondalık sayısında a’ya tam kısım , bc’ye de ondalık kısım denir.

Örn: rasyonel sayısını ondalık biçimde gösteriniz.

Devirli Ondalık Sayılar:

Ondalık sayı şeklinde yazılan bir rasyonel sayıda ondalık kısımdaki rakamlar belirli bir biçimde tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık sayı denir.

Örn:

Devirli Ondalık Sayılar’ın Rasyonel biçimde Yazılması:

Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel biçimde yazmak için;

işlemi yapılır.

a,b,c,d birer rakam olsun:

olur.

Örn:

Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılarla ilgili Karma Alıştırmalar:

1) işleminin sonucu kaçtır? (1999-ÖSS)

Cevap:

2) olduğuna göre, a . b = ? (1999-ÖSS)

Cevap:

3) (2000-ÖSS)

Cevap:

4) Üç basamaklı en büyük pozitif çift tamsayı ile üç basamaklı en büyük negatif tek tamsayının toplamı kaçtır? (1994-ÖSS)

Cevap: 998 + (-101) = 897

5) Bir sayının ‘inin 3 fazlası, aynı sayıya eşittir. Bu sayı kaçtır?

Cevap: Sayı x olsun:

6) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralanışı nasıldır?(1990-ÖSS)

Cevap: c, bileşik kesir olduğu için en büyüktür.

Sıralama: şeklinde olur.

7) ise, ‘nin değeri kaçtır? (1983-ÖSS)

Cevap:

olur.

Cool a,b,c pozitif tam sayılar olduğuna göre işleminin en küçük değeri kaçtır? (1999-ÖSS)

Cevap:

olur.

olabilir.

olabilir ve en küçüktür.